Resumo Neste artigo, analisam-se as formas de alienação presentes em uma atividade de formação inicial de professores de matemática, focalizada em construções geométricas produzidas com o software GeoGebra. Utilizando um método de análise dialético-materialista, identificaram-se episódios da atividade que mostram sinais de alienação, manifestados em dois futuros professores, enquanto eles se envolviam com o formador na resolução de uma tarefa. A análise dos dados resultou em quatro descobertas ligadas à alienação do produto, da atividade produtiva e com respeito a outros indivíduos, bem como ao modo de agir do formador para romper com essas formas. As descobertas são discutidas no tocante ao legado da cultura escolar herdado pelos futuros professores, à ética da cooperação entre eles e à atuação do formador na atividade.

Abstract This article analyzes the forms of alienation present in an initial training activity for mathematics teachers, focused on geometric constructions produced with GeoGebra. Using a dialectical-materialist analysis method, episodes of the activity were identified that show signs of alienation manifested in two future teachers, while they were involved with the trainer in solving a task. The analysis of the data yielded four findings, linked to the alienation of the product, of the productive activity and with respect to other individuals, as well as the way of acting of the trainer to break with these forms. The findings are discussed in light of the legacy of the school culture inherited by future teachers, the ethics of cooperation between them and the performance of the trainer in the activity.

Resumen Desarrollar las capacidades del profesor para gestionar curricularmente las tareas matemáticas que propone en el aula es un objetivo de la formación docente que ha cobrado gran relevancia en los últimos años. Inmerso en esta temática, el presente artículo de reflexión plantea una manera de entender cómo profesores de matemáticas movilizan saberes acerca de la resolución, el análisis y el diseño de tareas investigativas de geometría dinámica (TIGD) para la enseñanza de las matemáticas durante el desarrollo de actividades de formación continua. Para lograr este objetivo, se definen los conceptos de saber y labor conjunta según la teoría de la objetivación y se destacan sus principales características. Posteriormente, se adaptan estos conceptos al contexto de actividades de resolución, análisis y diseño de TIGD en la formación continua de profesores de matemáticas, para conceptualizar a continuación tres tipos de labor conjunta (resolución, análisis y diseño) y tres saberes profesionales susceptibles de movilización en ese contexto formativo. Para cada uno de estos saberes, se describen las acciones y reflexiones específicas que pueden caracterizar a cada tipo de labor conjunta desplegada por los profesores durante la formación. Finalmente, se concluye que la aproximación teórica aquí expuesta no es un producto acabado, sino una reflexión crítica de partida que podrá ser refinada eventualmente al analizar procesos formativos específicos en geometría, orientados hacia la resolución, el análisis y el diseño de TIGD para la enseñanza de las matemáticas en la educación básica.

Abstract Developing the teachers' capacities to manage the mathematical tasks that he proposes in the classroom is an objective of teacher education that has had great relevance in recent years. Located on this theme, this reflection article proposes a way to understand how mathematics teachers mobilize knowledge about the resolution, analysis, and elaboration of investigative tasks of dynamic geometry (ITDG) for teaching, during the development of continuing education process. To achieve this goal, it becomes by assuming and theorizing the concepts of knowledge and joint work provided by the theory of objectification, highlighting its main defining characteristics. Subsequently, these concepts are adapted to the context of ITDG resolution, analysis, and elaboration activities in the continuing education of mathematics teachers, to conceptualize next three types of joint work (resolution, analysis, and elaboration) and three professional knowledge capable of mobilization in this formative context. For each knowledge, the specific actions and reflections that can characterize each type of joint work developed by teachers during formative process are described. Finally, it is concluded that the theoretical approach exposed is not a finished product, but a critical reflection at the beginning that can be refined eventually when analyzing specific formative processes in geometry, oriented to the resolution, analysis, and elaboration of ITDG for teaching mathematics in middle and high school.

Resumo Desenvolver as capacidades do professor para gerenciar curricularmente as tarefas matemáticas que propõe em sala de aula é um objetivo da formação docente que tem tido grande relevância nos últimos anos. Situado nesta temática, este artigo de reflexão propõe um modo de entender como professores de matemática mobilizam saberes acerca da resolução, análise e elaboração de tarefas investigativas de geometria dinâmica (TIGD) para o ensino de matemática durante o desenvolvimento de atividades de formação continuada. Para atingir esse objetivo, inicia-se definindo os conceitos de saber e labor conjunto fornecidos segundo a Teoria da Objetivação, destacando suas principais características. Posteriormente, adaptam-se esses conceitos ao contexto de atividades de resolução, análise e elaboração de TIGD na formação continuada de professores de matemática, para conceitualizar a seguir três tipos de labor conjunta (resolução, análise e elaboração) e três saberes profissionais susceptíveis de mobilização nesse contexto formativo. Para cada um desses saberes, descrevem-se as ações e reflexões específicas que podem caracterizar a cada tipo de labor conjunta desenvolvida pelos professores durante a formação. Finalmente, conclui-se que a aproximação teórica exposta não é um produto acabado, mas uma reflexão crítica de início que poderá ser refinada eventualmente ao analisar processos formativos específicos em geometria, orientados à resolução, à análise e à elaboração de TIGD para o ensino de matemática na educação básica.

Abstract: This article describes the theoretical/methodological references and elements that structure the design of a learning environment focused on Euclidean constructions (a particular type of constructions with ruler and compass) with GeoGebra software and aimed at prospective mathematics teachers. From a historical-cultural perspective of learning and teaching, a conceptualization of teaching knowledge, of learning this knowledge and of the formative activity that makes this learning possible is presented. The elements of the design include a characterization of knowledge about Euclidean constructions with GeoGebra (SACEG), as a knowledge fed by a disciplinary and professional aspect, the motive, objective and goals of the training activity, the training tasks and the possible interactions between the trainer and the future teachers when solving the tasks. This design provides elements for the debate about the demands of promoting (or not) SACEG learning in contexts of initial mathematics teacher training.

Resumen: Se describen los referentes teóricos/metodológicos y elementos que estructuran el diseño de un entorno de aprendizaje centrado en las construcciones euclidianas (un tipo particular de construcciones con regla y compás) con el software GeoGebra y dirigido a futuros profesores de matemáticas. Desde una perspectiva histórica-cultural del aprendizaje y la enseñanza, se presenta una conceptualización del saber docente, del aprendizaje de este saber y de la actividad formativa que hace posible dicho aprendizaje. Los elementos del diseño incluyen una caracterización del saber acerca de las construcciones euclidianas con GeoGebra (SACEG), como un saber alimentado por una vertiente disciplinaria y profesional, el motivo, objetivo y metas de la actividad formativa, las tareas de la formación y las interacciones posibles entre el formador y los futuros profesores al resolver las tareas. Este diseño aporta elementos para el debate acerca de las exigencias propias de la promoción (o no) del aprendizaje del SACEG en contextos de formación inicial de profesores de matemáticas.

Abstract The research focuses on the forms of human collaboration demonstrated by teachers and secondary school students who participate in an experience of simulator development with GeoGebra (SDG) in which mathematical modeling processes are involved. To analyze the collaboration in this activity, we relied on the idea of subjectivity coming from the Theory of Objectivation (RADFORD, 2014). Through an interpretative analysis of the moment in which a student communicates to others the technique used by them to build a semicircle with GeoGebra, it was possible to identify the presence of responsibility, commitment, and care for the other, as the three forms of collaboration produced in the SDG. In addition, the analysis identified how one of the teachers promoted some of these forms of collaboration in the students. The findings suggest that the way of managing technique communication, individualistic culture in school, and the students' resistance to change were the three aspects that influenced the manifestation and promotion of these forms of collaboration.

Resumen La investigación se centra en las formas de colaboración humana puestas de manfiesto por profesores y alumnos de educación media que participan en una experiencia de elaboración de simuladores con GeoGebra (ESG) en la que intervienen procesos de modelación matemática. Para analizar la colaboración en esta actividad nos apoyamos en la idea de subjetividad proveniente de la Teoría de la Objetivación (RADFORD, 2014). A través de un análisis interpretativo del momento en que un alumno comunica a otros la técnica empleada por él para construir un semicírculo con GeoGebra, fue posible identificar la presencia de la responsabilidad, el compromiso y el cuidado del otro, como las tres formas de colaboración características de la ESG. Además, el análisis permitió identificar el modo en que uno de los profesores promueve algunas de estas formas de colaboración en los alumnos. Las conclusiones sugieren que la manera de gestionar la comunicación de la técnica, la cultura individualista en la escuela y la resistencia al cambio por parte de los alumnos, fueron los tres aspectos que incidieron en la manifestación y promoción de estas formas de colaboración.

Resumo: O propósito da pesquisa é dar conta da aprendizagem geométrica produzida em uma experiência de elaboração de simuladores com o GeoGebra no Ensino Médio, na Venezuela. Para tal, apoiamo-nos na categoria processos de objetivação, desenvolvida na Teoria da Objetivação, com o intuito de descrever e interpretar essa aprendizagem no que diz respeito à maneira em que um professor de matemática e dois alunos do Ensino Médio tomam consciência da ideia da rotação nas ferramentas de construção do software. Através de uma análise multisemiótica da atividade, examinam-se de forma integrada e sistémica os distintos meios semióticos (signos e artefatos) postos em jogo pelos participantes para alcançar um nível de consciência relativamente estável sobre a conceitualidade da rotação mobilizada na construção de um círculo, atendendo às relações dialéticas e dinâmicas entre esses meios. Nas conclusões discutem-se alguns aspectos dos processos de objetivação reportados, como a atividade semiótica desenvolvida, a atuação do professor e as dificuldades surgidas nessa atividade.

Abstract: The purpose of the research is to account for the geometric learning produced in a simulator creation experience with GeoGebra in Secondary School, in Venezuela. For this, we rely on the objectification process category, developed in the Theory of Objectivation, in order to describe and interpret this learning from the way in which a mathematic teacher and two Secondary School students become aware of the idea of rotation embodied in the tools of software construction. Through a multisemiotic analysis of activity, the various semiotic recourses (signs and artefacts) put into play by the participants are examined in an integrated and systematic way, paying attention to their dialectical and dynamic relations. Participants draw on these resources to reach a relatively stable level of consciousness about the conceptualization of the rotation mobilized in the construction of a circle. In the conclusions, some aspects of reported objectification processes are discussed, such as the semiotic activity displayed, the teacher’s performance and the difficulties arising in that activity.

Resumen: El propósito de esta investigación es dar cuenta del aprendizaje geométrico producido en una experiencia de elaboración de simuladores con el GeoGebra en la Educación Media, en Venezuela. Para tal, nos apoyamos en la categoría de procesos de objetivación, desarrollada en la Teoría de la Objetivación, con la intención de describir e interpretar ese aprendizaje en lo que se dice respecto a la manera en que un profesor de matemática y dos alumnos de la Educación Media toman consciencia de la idea de rotación en las herramientas de construcción del software. A través de un análisis multisemiótico de la actividad, se examina de forma integrada y sistemática los distintos medios semióticos (signos y artefactos) puestos em juego por los participantes para alcanzar un nivel de conciencia relativamente estable sobre la conceptualidad de la rotación movilizada en la construcción de un círculo, atendiendo a las relaciones dialécticas y dinámicas entre esos medios. En las conclusiones se discuten algunos aspectos de los procesos de objetivación reportados, como la actividad semiótica desarrollada, la actuación del profesor y las dificultades surgidas en esa actividad.

Abstract Club GeoGebra (CG) project expansion in Venezuela high schools demands to design each year training opportunities for new teachers (CG promoter). An essential component of the design is the knowledge related with modelling processes that happen when the CG students develop simulators. To unveil this component, we conducted a study in which we identify and describe the knowledge for the management of mathematical work recognized by a group of CG promoters. These teachers discussed the practices of solving construction tasks with GeoGebra of a colleague and his students, while their discussions were recorded on video. Using an interpretative analysis technique, we identified three types of knowledge needed to manage the mathematical work: knowledge of how to analyze a construction inconsistency, knowledge of how to communicate a construction technique and knowledge of how to anticipate the technique before it is used. Our results suggest that the knowledges are rooted in the practical experience of the CG promoters. However, the recognition of such knowledge not only has its subjective side, but also a cultural side that we discussed at the end of the article.

Resumen La expansión del proyecto Club GeoGebra (CG) en las instituciones de educación media, en Venezuela, demanda el diseño de oportunidades formativas para los profesores (promotores del CG) que se integran cada año. Una componente esencial del diseño es el saber necesario para gestionar los procesos de modelación por los que transitan los alumnos del CG cuando elaboran simuladores. Para develar esta componente, realizamos un estudio en el que identificamos y describimos los saberes para la gestión del trabajo matemático reconocidos por un grupo de promotores del CG que discuten las prácticas de resolución de tareas de construcción con GeoGebra de un colega y sus alumnos. Las discusiones fueron registradas en vídeo. Mediante una técnica de análisis interpretativo, se identificaron tres saberes necesarios para gestionar el trabajo matemático: saber cómo analizar la inconsistencia de una construcción, saber cómo comunicar a otros una técnica de construcción y saber cómo anticipar una técnica antes de ser empleada. Los resultados sugieren que estos saberes se encuentran enraizados en la experiencia práctica de los promotores del CG. Sin embargo, el reconocimiento de tales saberes no solo tiene su lado subjetivo, sino también un lado cultural que discutimos al final del artículo.

Abstract: The article focuses on the modeling processes through which a group of students learn mathematics while participating in a simulation experience with GeoGebra. Specifically, a cognitive perspective is taken to analyze the processes of mathematization and mathematical work carried out by these students when representing a piece that composes the mechanism of a steam engine type Newcomen. This perspective refers to the “modeling cycle” of Blum, Leiβ (2007), specifically regarding the transit through the real model phases, mathematical model and mathematical results. The analysis of the cognitive processes contributed to identify nine episodes that reveal how the students, with the guidance of a teacher, generated a mathematical model useful to represent the piece in the GeoGebra and constructed a dynamic drawing associated with this model. The results obtained account for the existence of types of mathematical models generated in mathematisation, different levels of analysis in mathematical work and characteristics of the role that teachers play in guiding the development of the activity.

Resumen: El artículo se centra en los procesos de modelación a través de los cuales un grupo de estudiantes aprenden matemática mientras participan en una experiencia de simulación con GeoGebra. Específicamente, se asume una perspectiva cognitiva para analizar los procesos de matematización y trabajo matemático llevados a cabo por estos alumnos al representar una pieza que compone al mecanismo de una máquina de vapor tipo Newcomen. Tal perspectiva se refiere al “ciclo de modelación” de Blum, Leiβ (2007), específicamente en lo que respecta al tránsito por las fases modelo real, modelo matemático y resultados matemáticos. El análisis de los procesos cognitivos contribuyó a identificar ocho episodios que revelan cómo los estudiantes, con la orientación de un profesor, generaron un modelo matemático útil para representar la pieza en el GeoGebra y construyeron un dibujo dinámico asociado con este modelo. Los resultados obtenidos dan cuenta de la existencia de tipos de modelos matemáticos generados en la matematización, diferentes niveles de análisis en el trabajo matemático y características del rol que cumple el profesor al orientar el desarrollo de la actividad.